3802 ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО. МАГНЕТИЗМ - Страница 9


Лабораторная работа № 9
Исследование собственных колебаний струны
методом резонанса

Цель работы: определение собственных частот струны; исследование зависимости скорости распространения поперечных колебаний в струне от силы её натяжения.
Приборы и принадлежности: закреплённая на штативе струна с уст-ройством фиксации заданного натяжения; генератор электрических колебаний звуковой частоты; постоянный магнит.
Общие теоретические сведения и метод эксперимента
Струной в акустике называют упругую тонкую гибкую нить, в которой с помощью внешних сил создается натяжение, и по которой распространяются поперечные волны.
Струна является примером сплошных (распределенных) колебательных систем, в которых отдельные части среды совершают различные колебания. Это различие в колебаниях приводит к возникновению деформации среды и, таким образом, упругих сил. В связи с тем, что такую систему можно представить как совокупность бесконечного числа связанных друг с другом дискретных осцилляторов, то она будет характеризоваться бесконечным набором собственных (нормальных) частот, зависящих от её размеров, плотности и упругих свойств. Эти частоты могут быть получены из решения волнового уравнения.
Получим уравнение, описывающее распространение по струне упругих волн. Для этого рассмотрим струну длиной L и площадью поперечного сечения S, изготовленную из материала плотностью  , закрепленную в двух точках на её концах. Выберем систему координат так, чтобы ось X совпадала с осью струны в положении равновесия, а колебания струны происходили только в плоскости X-Y (рис. 1).
Выделим элемент струны, заключённый между точками х и  , смещённый при колебаниях от равновесного положения струны. При этом на краях выделенного элемента из-за упругих свойств струны будем иметь напряжения   и   соответственно.
Как для любого тела, совершающего механическое движение, для выделенного участка струны можем записать второй закон Ньютона, который в проекции на ось Y будет иметь вид:
,
или
,     (1)
где      - масса выделенного элемента струны;   и   - проекции на ось Y сил натяжения, действующих в точках х и  ;   и   - углы между направлением, определяемым каса-тельной к струне в этих же точках, и осью X;   - проекция ускорения центра тяжести выделенного элемента струны на ось Y.

Рис. 1. Участок струны, деформируемый при колебаниях
В предположении малых амплитуд колебаний струны вдоль оси Y с достаточной степенью приближения можно считать, что:
1)    напряжение струны не зависит от частоты колебаний и равно на-пряжению в равновесном состоянии, то есть  ;
2)     .
С учетом этого выражение (1) можно переписать в виде:
.     (2)
Сделав предельный переход при   и заменив полные производные на частные, получим одномерное волновое уравнение:
.     (3)
Это уравнение описывает распространение поперечных колебаний вдоль оси струны со скоростью
.     (4)
Решением этого уравнения является функция, называемая уравнением плоской бегущей волны:
,     (5)
где     А - амплитуда колебаний,   - циклическая частота,   - волно-вое число  ,   - начальная фаза колебаний,   - длина волны. Знак "-" соответствует распространению волны в положительном направлении оси X, знак "+" - в отрицательном.
Отличие распространения волн в струне конечных размеров, закрепленной на краях, от бесконечно длинной струны заключается в том, что в точке закрепления струны происходит отражение волны, так что общая картина колебаний образуется суперпозицией двух одинаковых волн, движущихся во взаимно обратных направлениях, и называется стоячей волной. Если за начало координат принять одну из точек закрепления струны, а начальный отсчет времени выбрать так, что  , то уравнение стоячей волны запишется в виде:
.     (6)
Из него видно, что в этом случае каждая точка струны совершает колеба-ния частотой   с амплитудой  , зависящей от ее коорди-наты х. В точках, где
,   
амплитуда колебаний   достигает максимального значения, равного 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны.
В точках, где
,   
амплитуда обращается в ноль. Эти точки являются узлами стоячей волны.
Таким образом, в выбранной системе координат положение узлов и пучностей определяется как:
,    - пучность;    (7)
,    - узел.    (8)
Так как точки закрепления струны являются узлами стоячих волн, то в струне возбуждаются колебания таких частот, при которых на длине струны L укладывается целое число длин полуволн, то есть:
или  ,   .
Учитывая связь скорости распространения колебаний   с частотой   и длиной волны  
,
получаем
.     (9)
Согласно соотношению (4)
,     (10)
где    F и d - сила натяжения и диаметр струны соответственно.
Подставляя выражение (6) в (7), получаем окончательное выражение для собственных частот колебаний струны
.     (11)
Самая низкая собственная частота  

называется основной частотой или основным тоном. Более высокие частоты, кратные  , называются обертонами или гармониками (  - первая гармоника,   - вторая гармоника и т.д.).
В общем случае в струне могут установиться одновременно колебания любого числа гармоник, для каждой из которых справедливо
,
где       - амплитуда n-й гармоники,   - поперечное отклонение струны в точке х в момент времени t,   - длина волны n-й гармоники.
Описание лабораторной установки
На рис. 2 приведена схема экспериментальной установки.

Рис. 2. Схема экспериментальной установки
Металлическая струна натягивается между стойками А и В. Один из концов закреплен неподвижно, а другой присоединен к системе натяжения, с помощью которой в струне создается заданное напряжение. От генератора электрических колебаний З Г на струну подается переменное напряжение. Вдоль струны по подставке, на которой она закреплена, может свободно перемещаться постоянный магнит. Участок струны с текущим по нему переменным током попадает в поле постоянного магнита. При этом на струну со стороны поля действует периодическая сила (сила Ампера). Период действия силы определяется частотой переменного тока, создаваемого генератором. В том случае, когда частота генератора будет совпадать с одной из собственных частот струны, а положение полюсов магнита - с пучностью стоячей волны, соответствующей данной частоте, наступает явление резонанса. При этом на струне визуально наблюдается установление стоячей волны.
Подготовка лабораторной установки к работе
1.    Ослабить винт 2 и передвинуть шайбу 3 по горизонтальному стержню С1 в крайнее правое положение, соответствующее последнему делению стержня (см. рис. 3). Закрепить винт 2 так, чтобы левый край шайбы находился на границе метки.
2.    Держателем Д подтянуть струну вправо так, чтобы стержень С2 был в строго вертикальном положении. Закрепить винт 1.
3.    Крайнее левое положение шайбы 3 на стержне С1 соответствует силе натяжения струны   (при выполнении п. 2). Последовательное перемещение шайбы 3 вправо на отмеченные деления стержня С1 равно увеличению силы натяжения струны на 0.79 H.

Рис. 3. Устройство натяжения струны
Основные параметры лабораторной установки:
"    диаметр струны -  ;
"    длина струны -  ;
"    плотность материала струны -  ;
"    вес шайбы -  .
Порядок выполнения работы
1.    Включите генератор звуковой частоты.
2.    Создайте натяжение в струне, равное 2.2 H, используя устройство натяжения (см. рис. 3). Для этого передвиньте шайбу 3 до совмещения с третьим делением стержня С1. Силу натяжения занесите в таблицу.
3.    Установите магнит посреди струны и, плавно изменяя частоту генератора, добейтесь устойчивых колебаний основного тона. Запишите в таблицу соответствующее значение частоты и зарисуйте профили стоячих волн.
4.    Передвиньте магнит в места предполагаемых пучностей и прове-дите измерения по п. 3. Если амплитуды колебаний очень малы, увеличьте выходное напряжение звукового генератора.
5.    Произведите измерения по пп. 3 и 4 при других силах натяжения струны. Данные занесите в таблицу.
6.    Рассчитайте по формуле (11) значения собственных частот коле-баний струны при различных силах натяжения и занесите в таблицу.
7.    По экспериментальным данным рассчитайте скорость распространения поперечных колебаний для каждой силы натяжения струны, используя формулу (9). На основе параметров струны, приведенных на установке и рассчитанных по соотношению (11) собственных частот колебаний, определите теоретические значения скорости распространения колебаний при различных силах натяжения. Результаты расчетов занесите в таблицу.

Натяжение струны    Номер гармо-ники собст-венных коле-баний струны    Форма собст-венных коле-баний струны    Собственная частота,  , Гц
Скорость распро-странения колеба-ний  , м/с

Экспе-римент    Теория    Экспе-римент    Теория
F1=    1
2
3                    
F2=    1
2
3                    
F3=    1
2
3                    

8.    По полученным в ходе измерений данным постройте зависимость скорости распространения колебаний от силы натяжения струны. На этом же графике постройте теоретическую зависимость скорости от силы натяжения, рассчитанную по выражению (10).
9.    Оцените погрешности измерений.
Вопросы и задания для самоконтроля
1. Что такое собственные колебания?
2. Выведите волновое уравнение для поперечных волн в струне.
3. Выведите уравнение стоячей волны. Чем отличается стоячая волна от бегущей?
4. Выведите соотношения для определения положения узлов и пучностей стоячей волны, возникающей в однородном упругом стержне длиной L в случае если:
"    стержень жестко закреплен на краях;
"    один из концов стержня жестко закреплен, а второй свободен;
"    стержень жестко закреплен только в средней точке.
5. Объясните методику эксперимента.
6. Как влияет натяжение струны на скорость распространения попе-речных волн в струне?
7. Объясните расхождение экспериментальных и теоретических дан-ных.
Библиографический список
1.    Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М.: Высшая школа, 2001.      С. 274-279, 396-400.
2.    Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. СПб.: Лань, 2005. С. 289-292.
3.    Трофимова Т. И. Курс физики. М: Высшая школа, 2002. С. 290-294.
4.    Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 3. Электричество. М.: Наука, 1983. С. 624-627.



 
D addario источник.