3698 ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ И УСТРОЙСТВ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ - Страница 2

где Y1, Y2 ,Y3 - комплексные амплитуды сигналов соответственно 1-го, 2-го и 3-го антенных элементов с координатами (0,0,0); (0,d,0) и (d,0,0).

Алгоритмы оценки УК (1.5) получены эмпирическим путем и не учитывают вероятностных свойств сигналов на входах антенных приемников. Ниже показано, что данный алгоритм является алгоритмом оценки максимального правдоподобия (ОМП) и может быть получен в результате процедуры статистического синтеза.

При синтезе рассматривается общий случай произвольного числа и произвольного расположения антенных элементов.

Полагаем, что на m-элементную антенную решетку в системе координат OXYZ падает плоская волна, направление прихода которой характеризуется углом места b и азимутом a (рис.1.5). Элементы антенной решетки характеризуются координатами xi; yi; zi. Полагаем, что комплексная амплитуда колебаний, принимаемых i-м элементом, представляет собой  аддитивную смесь комплексных амплитуд сигнала со случайной начальной фазой и белого гауссовского шума Xi(t)=Si(t)+Ni(t), где Si (t) = S0 exp{j[j(t)+j0 +yi ]}, j0 - начальная фаза, j(t) - фазовый сдвиг за счет фазовой модуляции , yi - фазовый сдвиг за счет запаздывания фронта волны относительно  i-го вибратора. Величина  yi связана  с углами прихода колебаний  соотношением

y i = 2p/l [ xi sina cosb + yi sinb + zi cosa cosb],

где l - длина волны.

Переходя к величинам   ci =  xi/ l , ni =yi /l , zi = zi /l и направляющим косинусам U: ux = sina cosb, uy = sinb, uz = cosa cosa, запишем выражение функции правдоподобия для сигнала со случайной фазой [2,4]

T m L (X | U)= C I0 { 1/N0 | 0 ò åi=1 Xi(t)S*(t,U)dt|}=

m                                                 T

=CI0{ S0 /N0 |åi=1exp[-j2p(ci ux +ni uy + zi uz )] 0 ò Xi(t)exp[-jj(t)] dt|} (1.6)

где I0 - модифицированная функция Бесселя,  N0 - спектральная плотность мощности шума, C - константа.

Обозначим

Yi 0 ò T Xi(t)exp[-jj(t)] dt , (1.7)

что соответствует согласованной фильтрации во времени (сжатие импульсов,  ДПФ).

Для нахождения оценки максимального правдоподобия (ОМП) будем искать максимум квадратичной формы Q, связанной с функцией правдоподобия монотонной зависимостью

Q =  Y+ C Y,                                                 (1.8)

где  Y ={Y1, ..., Ym}T , элементы  матрицы С:

cik = exp{ -j 2p [( ci - ck )ux + (ni - nk )uy + (zi -zk ) uz]}.

Представим формулу  (1.8)  в  виде

Q = VT B V,   (1.9)

где  V ={ V1, ..., Vm}T ={ |Y1|, ..., |Ym|}T , элементы  матрицы B:

bik = cos{ 2p [( ci - ck )ux + (ni - nk )uy + (zi -zk ) uz -jikl ]},

jikl = 1/2p[ arg Yi*Yk + 2pl], (1.10)

rik = ci - ck ,

lik = ni - nk ,

dik = zi -zk .

Поскольку  Vi >0, максимум Q достигается одновременной максимизацией элементов матрицы B. Единственное решение существует в случае m=4 и rik , lik , dik <l/2, что соответствует | jik | <p.  При этом из условия равенства аргументов косинусов нулю имеем систему трех независимых уравнений с тремя неизвестными (остальные уравнения являются зависимыми)

А U= Ф, (1.11)

где

 

 

 

Данная система имеет однозначное решение U = A-1Ф.

Для плоской антенной решетки dik = 0,   следовательно, имеем два уравнения с двумя неизвестными ux и uy. .

Минимальное количество антенных элементов, необходимое для измерения УК, равно трем.

Рассмотрим  I вариант  конфигурации антенной системы  (рис.1.2), когда для измерения используются  I - III  квадранты.

Полагая   x1=0, y1=0, x2= 0, y2 = d, x3=d, y3 =0, получаем решение системы (1.11) для направляющих косинусов в виде

ux = lj13 /d, uy = lj12/d. (1.12)

Объединяя (1.10) и (1.12) и переходя от направляющих косинусов к угловым координатам, получаем искомые оценки в виде (1.5)

Ù

b= arcsin[(l arg Y1*Y2)/(2pd)];

Ù Ù

a= arcsin[(l arg Y1*Y3)/(2pd cosb)].

Таким образом, алгоритм оценки максимального правдоподобия угловых координат предусматривает:

1)      формирование в соответствии с (1.7) отсчетов  Yi (согласованная фильтрация, сжатие импульсов, ДПФ);

2)      определение фазовых сдвигов между отдельными простран-ственными каналами и вычисление оценок по алгоритмам (1.5).

Выше указывалось, что определенными преимуществами с точки зрения компенсации инструментальных погрешностей обладают суммарно-разностные алгоритмы.   На рис.1.6  показана  схема образования суммарного и разностного сигналов на основе имеющихся четырех подрешеток-квадрантов (II вариант конфигурации элементов антенной системы).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.1.6

При этом для измерения угловых координат  формируются два разностных и два суммарных сигнала в соответствии со следующими выражениями:

YD1= (Y2 + Y4) - (Y1 + Y3),

Yå1= (Y2 + Y4)+ (Y1 + Y3), (1.13)

YD2= (Y4 + Y3) - (Y1 + Y2),

Yå2= (Y4 + Y3)+ (Y1 + Y2).

Выражения  (1.13) представляют собой линейное преобра-зование вектора Y и могут быть представлены в матричной форме  YåD = T Y, где матрица T - матрица линейного преобразования. Оценки параметра по методу максимального правдоподобия не зависят от взаимно однозначного безынерционного (по оцениваемому параметру) преобразования исходного процесса, т.к. точка максимального правдоподобия остается инвариантной при этих преобразованиях [8]. Следовательно, эффективность суммарно-разностных алгоритмов оценки УК будет не ниже, чем алгоритмов (1.5), а ввиду повышения отношения сигнал/шум за счет суммирования сигналов двух квадрантов следует ожидать повышения точности оценки во II варианте по сравнению с I-м.

Суммарно-разностные алгоритмы вычисления оценок УК имеют вид

Ù

b= arcsin{[larctg[2Im{Yå 1YD1*}/(|Yå1|2 -|YD 1|2 )]]/(2pd)} , (1.14)

Ù

a= arcsin{[l arctg[2Im{Yå 2YD2*}/(|Yå 2|2 -|YD 2|2 )]]/(2pd cosb)}.

1.2. Домашнее задание

  1. Изучить теоретическое введение по данному вопpосу.
  2. Нарисовать структурную схему измерителя, реализующего алгоритм (1.5).
  3. Написать формулы для расчета математического ожидания и дисперсии оценок измерения, полагая, что число статистических испытаний равно N.

1.3. Содеpжание pаботы

Работа выполняется на персональном компьютере (ПК) с использованием математических моделей сигнала, белого гауссовского шума с нулевым матожиданием  и алгоpитма измерения УК (1.5). Задаваемыми паpаметpами являются угол места и азимут объекта, отношение сигнал/шум, величина базы d.

1.4. Поpядок выполнения pаботы

Работа выполняется бригадами.  Для каждой бригады выбирается своя величина измеряемых угловых координат, при которых снимаются необходимые зависимости (см. табл. 1.1).

Таблица 1.1

№ бриг.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a (град)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

b (град)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

 

ПК функционирует в операционной среде Windows-95,98,2000,NT,XP.

Запуск pаботы осуществляется  путем запуска программы Angle.exe. После запуска выбирается пункт меню "Работа" и далее -  "Исследование измерителя угловых координат". Затем осуществляются ввод входных параметров и считывание выходных.

После ввода данных программа запускает цикл статистического моделирования, состоящего из N итераций (число N подбирается в результате эксперимента). На основе накопленных данных вычисляются характеристики оценок: математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение оценки (СКО), которые выводятся на экран.

  1. Определить требуемое число итераций N (количество реализаций для усреднения), обеспечивающее получение результатов с заданной достоверностью. Для этого при взятых из табл. 1.1 значениях b и a, d=0,5l и отношении сигнал/шум, равном 20, увеличивать число N, начиная с N =10000, с шагом 10000 до тех пор, пока у оценок математического ожидания и СКО не застабилизируется первый разряд после запятой. Дальнейшие испытания проводить при найденном значении N.
  2. Исследовать зависимость математического ожидания и СКО оценок УК от отношения сигнал/шум. Для этого запуск pаботы осуществлять при взятых из табл. 1.1 значениях УК, пpи d = 0.5l и отношениях сигнал/шум, равных 5, 10, 20, 40, 100. Построить на одном гpафике зависимости СКО b и a от отношения сигнал/шум.
  3. Исследовать зависимость СКО b и a от самих параметров b и a. Для этого задавать значения b и a от 0 до 40 градусов (b=a) при отношении сигнал/шум, равном 20, и значении d = 0.5l. Построить графики зависимостей СКО от b и a.
  4. Исследовать зависимости математического ожидания и СКО оценок от величины базы. Для этого при значениях b и a , равных 40, и отношении сигнал/шум, равном 20, задавать значения d: 0.1l,  0.25l, 0.5l, 0.75l, 1.0l.  Построить график зависимости.