3275 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ - Страница 2

Лабораторная работа № 9

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ

НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ НЕЙМАНА

Цель работы. Ознакомление со структурой производственно-экономической модели Неймана и методами использования этой модели для решения задачи планирования развития экономической системы на заданном временном интервале.

Структура модели

В модели Неймана рассматривается замкнутая экономическая система, в которой функционируют m производственных процессов и n различных продуктов. Процессы могут протекать с различными интенсивностями, составляющими вектор интенсивностей y=(y1,...,ym)T. Обмен продуктами происходит по ценам, составляющим вектор цен p=(p1,...,pn).

Сама модель задается в виде двух матриц размером mхn:

A=[aij] - матрица затрат,

B=[bij] - матрица выпуска,

где элементы aij и bij означают затраты и выпуск i-го продукта в j-м процессе при единичной интенсивности yj=1. Фактические затраты и выпуск будут при этом равны

Ay, By,

а стоимость затраченных и выпущенных продуктов равна

pA, pB.

Работа системы рассматривается на ограниченном интервале T, разбитом на l подынтервалов, называемых шагами. Матрицы A и B  остаются неизменными на всем интервале T, а векторы интенсивностей y и цен p остаются неизменными только в пределах каждого шага и меняются при переходе от одного шага к другому, т.е. являются функциями от номера шага

y=y(i)³0, p=p(i)³0.

Общая сумма денег, имеющаяся в системе, остается неизменной.

Известен начальный запас продуктов b0, с которого начинается функционирование системы. Удобно ввести понятие начального вектора интенсивностей y(0), который можно определить из соотношения

b0=By(0).                                                 (1)

На функционирование модели наложены ограничения.

1. Затраты на любом шаге i не могут превышать наличного запаса продуктов, т.е. того количества продуктов, которое было выпущено на предыдущем шаге

Ay(i)£By(i-1), i=2,..,l                                        (2)

Ay(1)£b0.

2. Цена выпущенной продукции не должна превышать затрат на ее выпуск

p(i-1)A³p(i)B, i=2,..,l;                                       (3)

p(0)A³p(1)B,

где p(0)A можно трактовать как начальную сумму денег, имеющихся в системе. Для лучшего понимания соотношения (3) следует учесть, что продукты, выпущенные на шаге i-1, продаются после того, как они были выпущены, т.е. на шаге i по ценам этого шага p(i).

Полученная система неравенств (2) и (3) при больших размерах матриц A и B и при значительном интервале планирования l становится чрезвычайно громоздкой, что затрудняет машинную реализацию поставленных задач и не дает возможности наглядной интерпретации решений в виде графиков на экране дисплея. Поэтому в лабораторной работе рассматривается случай двухпродуктовой модели (n=2) при наличии двух предприятий (m=2), т.е. рассматривается модель с матрицами A и B размером 2x2. При этом, правда, затрудняется экономическая интерпретация процессов выпуска, так как предполагается, что каждое предприятие выпускает оба вида продуктов. Интерпретировать это можно следующим образом. Каждое предприятие выпускает свой продукт, но у него имеются смежники, нуждающиеся в обоих продуктах. Предприятие закупает второй продукт и продает его своим смежникам, так что они рассматривают этот продукт как выпущенный самим предприятием.

Описание решаемых задач

Модель Неймана является удобным средством для получения оптимального плана развития экономической системы на заданном временном интервале длительностью l шагов. Исходными данными для решения этой задачи является начальный запас продуктов b0 и критерий оптимальности процесса q, задаваемый в виде линейной комбинации интенсивностей yi(l) на последнем шаге процесса

(4)

где с=(с12) – вектор коэффициентов целевой функции, выбираемый планирующим органом.

В такой постановке получение плана развития экономической системы на временном интервале в l шагов сводится к решению следующей задачи линейного программирования

q=cy(l) = max,

Ay(1)£b0,

Ay(i)£by(i-1), i=,                                      (5)

y(i)³0,        i=.

Общее число переменных в задаче (5) равно 2ml, что при m=2 и l=20 дает 80. Для реальных задач планирования значения m и l будут значительно больше, что делает размерность задачи столь большой, что возникают серьезные трудности при ее решении.

Одним из путей разрешения возникающих трудностей является нахождение состояния динамического равновесия, определяемого тройкой (a,`y,`p), удовлетворяющей соотношениям

aAy£By,                                                     (6)

apA³pB,

вытекающим из (2) и (3), в которых a представляет собой темп изменения интенсивностей и цен, определяемых соотношениями

y(i) =ay(i-1), p(i-1)=ap(i).

Если матрицы A и B квадратные, то уравнения (6) приводится к виду

Dy£ly,      pG³lp,

где     D=B-1A,      G=AB-1, l=1/a,


из которых следует, что l является главным собственным значением матриц D и G, а y и p представляют собой нормированные правый и левый собственные векторы этих матриц. На рисунке проведена траектория изменения интенсивностей z=ky, называемая лучом Неймана или магистралью и определяющая оптимальный план развития экономической системы при полном использовании имеющихся ресурсов.

Однако развитие экономики в соответствии с  магистралью может происходить только в том случае, если начальная точка y(0) уже находится на магистрали. Магистраль может также не удовлетворять требованиям максимизации целевой функции (4). В связи с этим приходится решать две вспомогательные задачи оптимизации:

а) задача выхода на магистраль из начальной точки;

б) задача перехода с магистрали в состояние, максимизирующее значение целевой функции q.

Обе эти задачи представляют собой задачи линейного программирования, но реализуемые за малое число шагов. Поэтому их решение не представляет значительных трудностей. Приведем описание этих задач.

Задача (а) формулируется в виде следующей задачи линейного программирования

q=g=max,

Ay(1)£b0,

Ay(i-1)£By(i), i=,                       (7)

gAy(k-1)£By(k),

y(i)³0,     i=.

Задача предусматривает выход на магистраль за k шагов. В ней введена добавочная переменная g, определяющая продвижение по магистрали на k-м шаге, величина которой максимизируется. Решение надо начинать с k=2. Если за два шага выйти на магистраль не удастся, то следует увеличить значение k.

Математическая формулировка задачи (б) совпадает с формулировкой общей задачи оптимизации (5). Отличие заключается в том, что в качестве начального вектора интенсивностей берется вектор y(l-h), лежащий на магистрали за h шагов до конца процесса. Задача решается в несколько приемов. Вначале берется h=3 и находится значение целевой функции q. Возможно, что q возрастет, если оптимизацию проводить не на трех последних шагах, а на большем числе шагов. Поэтому значение h постепенно увеличивается до тех пор, пока растет q.

Все вышеперечисленные задачи реализованы в виде подпрограмм, в программе Opt_N - оптимизация динамических режимов в модели Неймана.