19 ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННОГО ДАЛЬНОМЕРА - Страница 6

4.2. Методическая погрешность

 

В данном случае методическая  погрешность является погрешностью численного вычисления интеграла (4.1).

Рассмотрим семейство весовых функций, допускающих их представление в виде тригонометрического  ряда Фурье:

,                                   (4.6)

где: , ; - нормирующий коэффициент, который в соответствии с (4.3) равен: .

Подставим (4.6) в (4.3) :

.                          (4.7)                                                                                       (7)

Это соотношение можно привести к более удобной форме, если для вычисления суммы внутреннего ряда использовать известное представление [24]:

.                    (4.8)

С этой целью произведём  преобразование аргумента косинусоидальной функции в (4.7) к табличному виду (4.8), используя нормированное время [21]. Не повторяя всех рассуждений, приведённых в [21], сразу запишем с учётом (4.6) для нормированных моментов пересечения СРЧ нулевого уровня:

,                                (4.9)                                                                       (9)

где:;  - уменьшенное на 0,5 число длин волн несущего колебания с частотой , укладывающихся в измеряемом расстоянии;  - измеряемое расстояние, нормированное к величине дискретной ошибки;   и   - соответственно целая и дробная части числа дискретных ошибок, укладывающихся в измеряемом расстоянии.

Теперь можем записать:

.        (4.10)

Для дальнейшего расчёта существенное значение имеет соотношение между  и , определяющее число нулей СРЧ в течение половины периода модуляции, а значит и верхний предел суммирования в (4.4). Известно [6], что нулей СРЧ на полупериоде модуляции может быть  или . Из определения нормированного времени (4.9) следует, что на интервале времени  выполняется условие . Следовательно, для нуля с наибольшим номером  выполняется соотношение:

.                                     (4.11)

Если , то для выполнения правой части неравенства (4.11) достаточно, чтобы . В противном случае, т.е. при , получаем .

Подставляя эти величины в (4.10) для двух указанных случаев соотношения между  и , получим выражения для ошибки , учитывая, что точное значение  :

,           (4.12)

где: ;

.

Полученные формулы позволяют вычислять методическую ошибку измерения расстояния при использовании весовой функции произвольного вида, допускающей представление в форме (4.6).

Из логических соображений следует, что сглаживание дискретной ошибки достигается при  весовой функции, равной нулю на границах интервала интегрирования  и плавно изменяющейся при удалении от этих точек [т.е. ]. Формулируя для весовой функции какие-либо дополнительные  требования, можно добиться минимума ошибки измерения.

Рассмотрим некоторые весовые функции, широко используемые при спектральном анализе [26]. Например, семейство функций:

,                               (4.13)

где:  - нормирующий коэффициент; .

В работе [21] рассмотрена подобная весовая функция для случая  и получена точная зависимость ошибки измерения от измеряемого расстояния. Получим аналогичные соотношения  для оценки ошибки измерения при  произвольном значении .

Первоначально определим значение нормирующего коэффициента . Используя известное тригонометрическое соотношение [25], перепишем (4.13) в виде:

.

Применяя разложение синусоидальной функции в чётной степени [24], можно весовую функцию представить как:

,                   (4.14)

где: ;  - биномиальный коэффициент [24].

Из (4.2) можно получить:

.

Преобразовав (4.10) с  учётом  (4.14),  найдём:

.              (4.15)

Теперь перепишем   (4.12):

,     (4.16)

где индекс  в обозначении ошибки  соответствует показателю степени в (4.13).

Сравним результаты, получаемые по выражению (4.16) с имеющимися в литературе теоретическими формулами [21] для  и численными оценками [22] для ,  и .

Подставив в (4.16) указанные значения, соответственно получим:

,

что совпадает с приведённой в [21] формулой;

;

.

Для сравнения с результатами численного моделирования, произведём количественную оценку указанных погрешностей для . На рис. 4.1 приведён типичный график зависимости погрешности  от нормированного расстояния, которое в соответствии с принятыми обозначениями равно .

 

 

 

Видно, что погрешность является периодической затухающей функцией расстояния. Причём наблюдаются два вида периодичности. Первая имеет период, равный половине длины волны несущего колебания. Вторая имеет период, равный величине дискретной ошибки (в данном случае  м.). Количественные значения погрешности и скорость её затухания при увеличении расстояния зависят от величины  показателя степени . На рис. 4.2 показаны огибающие подобных графиков для значений ,  и .

Количественные соотношения между погрешностями, характерными для разных весовых функций, сильно отличаются для малых расстояний, когда , и для больших. На больших расстояниях большим значениям  соответствуют  меньшая ошибка и более высокая скорость затухания. На малом расстоянии величины ошибок, соответствующих весовым функциям с большим значением , могут превосходить ошибки, полученные при малых значениях . Полученные результаты совпадают с результатами численного моделирования весового способа сглаживания дискретной ошибки, приведёнными в [22].

 

Предельный переход в выражении (4.16) показывает, что ошибка при любом значении  снижается до нуля.

Представляет интерес ещё одна весовая функция, приведённая в [26]. Это окно Блэкмана – Хэрриса с уровнем боковых лепестков спектра – 92 дБ. Она представляется в виде (4.6) при  и значении коэффициентов разложения , , , .

Тогда  и значения весовой функции на границах интервала обработки отличаются от нуля: . Вследствие этого предельный переход в (4.12) для данных значений коэффициентов даёт такое же значение . Можно получить нулевые граничные значения весовой функции и нулевое предельное значение , если изменить  значения коэффициентов:  и .  На рис. 4.2 графики для этих двух вариантов обозначены как БХ и БХМ соответственно. Такие весовые функции имеют преимущество перед функциями (4.13) на малых расстояниях и обеспечивают вполне приемлемое подавление дискретной ошибки на больших расстояниях.

Приведённые соотношения позволяют находить в законченном виде формулы для методической погрешности измерения расстояния для ВССДО, производить её количественную оценку и обоснованно выбирать вид весовой функции при проектировании радиоволновых датчиков расстояния.

 



 
готовит в режиме каши