19 ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННОГО ДАЛЬНОМЕРА - Страница 3

2.2. Методическая погрешность

 

Подробно этот вопрос изложен в работе [15]. Здесь приведём только необходимый минимум сведений, позволяющий понять источники погрешности и оценить её величину.

Из формулы (2.2) следует, что методическая погрешность измерения расстояния определяется погрешностью измерения . Обозначим эту ошибку . При этом ошибка измерения дальности равна:

.                                      (2.4)

Ошибку измерения можно представить в виде суммы двух слагаемых

,

где:   - ошибка усреднения;    - ошибка дискретизации.

Максимальное значение ошибки дискретизации  равно:

.

Среднеквадратическое значение ошибки дискретизации можно найти, если считать, что смещение отдельно взятого перепада сигнала на рис 2.2 является величиной случайной, не зависящей от смещения остальных перепадов и равномерно распределено в пределах :

.

Величина ошибки усреднения сильно зависит от закона фазовой модуляции и способа усреднения. Распространённым является весовое усреднение. Можно показать [15], что весовое усреднение с линейной модуляцией эквивалентно усреднению с равномерным весом и нелинейной фазовой модуляцией по закону  при соответствующем выборе весовой функции:  - эквивалентная весовая функция;  - производная от закона модуляции.

Далее будем полагать, что имеет место весовое усреднение при линейной медленной фазовой модуляции.

В работе [15] показано, что дисперсия ошибки усреднения равна:

,                             (2.5)

где  - спектральная плотность  .

Усредняя (2.5) по  в пределах от  до , получаем среднее значение дисперсии ошибки усреднения:

.                                        (2.6)

Члены этого ряда быстро убывают, поэтому в большинстве практических случаев можно ограничиться первым слагаемым и определять среднеквадратическое значение ошибки усреднения по формуле:

.

Аналогично, максимальное значение ошибки усреднения можно приближённо находить как:

.

Если в (2.5) вместо  подставить значение , получим зависимость дисперсии ошибки усреднения от расстояния:

.

На рис. 2.4. приведены зависимости среднеквадратической ошибки усреднения от амплитуды фазовой модуляции, рассчитанные по формуле (2.6) с учётом ста первых членов ряда.

 

Рис. 2.4. Среднеквадратическое значение ошибки усреднения

для трёх весовых функций

 

Сплошной жирной линией показана зависимость для прямоугольного окна усреднения, сплошной тонкой линией – для треугольного окна и пунктирной линией – для кубического окна. Ошибка усреднения уменьшается с увеличением . Скорость уменьшения наименьшая для прямоугольного окна. Все три зависимости имеют затухающий колебательный характер с провисанием до нуля. Ошибка равна нулю в первом случае при , во втором – при  и в третьем при , где  - натуральное число. Ширина зон провисания минимальна для прямоугольного окна и максимальна для кубического окна.

Из графиков следует, что ошибка усреднения может быть значительно снижена путём весового усреднения или путём рационального выбора закона медленной модуляции.

Сравнивая зависимости от  ошибки дискретизации и ошибки усреднения, можно заметить, что первая растёт с увеличением , а вторая – уменьшается. Следовательно, суммарная ошибка должна иметь минимум. На рис. 2.5 показаны зависимости суммарной максимальной ошибки от .

Каждый из графиков с ростом  достигает определённого минимума и затем возрастает, стремясь к значению . Вторая и третья кривые имеют существенно меньший минимум и меньшие значения .

 

Рис.2.5. Зависимость максимальной ошибки

от амплитуды фазовой модуляции

 

Минимальные значения  и соответствующие им величины составляют соответственно для прямоугольного, треугольного и кубического окон:

-;                ;

-   ;                ;                            (2.7)

-    ;                    .

Отметим, что все зависимости являются плавными, поэтому не требуется высокая точность  при определении и поддержании необходимого значения .

 

 

2.3. Влияние нелинейности МХ

 

При нелинейной МХ    передатчика медленный сдвиг частоты генератора, обеспечивающий медленную фазовую модуляцию, приводит к изменению девиации частоты быстрой модуляции [15] от  до . Будем считать, что МХ передатчика описывается монотонной, непрерывной и дифференцируемой функцией  .

Связь между оценкой расстояния и оценкой среднего числа нулей  при линейной МХ выражается формулой (2.2), куда входит величина . При анализе погрешности, вызванной нелинейностью МХ  [15], в качестве исходного значения полосы быстрого качания принимают величину , т.е. полосу качания несущей частоты в отсутствие медленной модуляции, и определяют систематическую погрешность, обусловленную таким выбором.

Как отмечалось ранее, ошибка  складывается из двух составляющих: ошибки дискретизации  и ошибки усреднения . Максимальное значение ошибки дискретизации в данном случае равно:

,

где: , - диапазоны медленной перестройки частоты, обеспечиваемые одним и тем же медленным модулирующим напряжением на двух участках МХ, разнесённых по напряжению на величину амплитуды быстрой модуляции.

Ошибка усреднения в данном случае складывается из двух слагаемых .

Компонента  обусловлена только нелинейностью МХ, выражает прирост величины  за счёт изменения девиации и в случае малой нелинейности равна:

,

где , и равна 0,5 при симметричной функции .

Средний квадрат ошибки   определяется выражением:

,

где:  - спектральные плотности функций ; ; ;  - функции, описывающие участки МХ, соответствующие амплитуде быстрой нелинейности и разнесённые по напряжению на величину амплитуды медленной модуляции.

Ограничившись первым членом ряда, можно получить приближённую формулу:

.

Полученные соотношения позволяют оценить величину систематической ошибки, вызванной известной нелинейностью МХ, и учесть её при расчёте измеряемого расстояния. Однако практически это сделать невозможно, т.к. нелинейность МХ большинства СВЧ генераторов зависит от температуры.