22 ЭЛЛИПСОМЕТРИЯ - Страница 3

Пространственно векторы Ep, Es всегда перпендикулярны друг к другу; изменяются только их величины в зависимости от времени (частоты колебаний). Изменения Ep и Es в зависимости от амплитуд колебаний Ap,As и от начальных временных фаз qp, qs приводят к изменению модуля суммарного вектора Е и его угла наклона к оси. При различных начальных фазах в зависимости от времени конец вектора Е может описывать в плоскости колебаний (перпендикулярной к лучу) прямую, эллипс или окружность. Совместным решением уравнений (1) является в общем случае уравнение эллипса, оси которого не совпадают с направлениями координатных осей (рис.3):

(EX/AX)2+(EY/AY)2+2(EX/AX)·(EY/AY)·cos(qX-qY)=sin2(qX-qY),

или при переобозначении  оси X в ось s,  а оси Y в ось p:

(Es/As)2+(Ep/Ap)2-2(Es/As)·(Ep/Ap)·cos(qs -qp) = sin2(qs-qp).                              (3)

Из уравнений (2) следует, что комбинацией четырех параметров АX, АY, qX, qY, или   Ap,As,qp,qs (амплитуд и фаз) можно теоретически смоделировать любую световую волну - от линейно поляризованной до круговой правой или левой циркуляции.

Схема моделирования может быть представлена c подвижной координатной системой  XOY (рис.2), которая остается перпендикулярной к направлению движения луча Z и до и после отражения пучка от поверхности. Соответственно до и после отражения пучка  векторы Ep и Es направлены по осям X и Y в поперечной плоскости пучка. После отражения направления Ep и Es сохраняют ориентацию относительно луча,  вектор Es остается также параллельным плоскости образца, вектор Ep изменяет угол наклона к плоскости объекта в соответствии с углом отражения.


Линейная поляризация. При сдвиге фаз, равном нулю, траектория конца суммарного вектора проходит через нуль координат и представляет собой прямую линию. Из уравнения следует, что при разности фаз теоретических компонентов qp - qs = 0 зависимость между электрическими векторами линейная (Ep/Ap - Es /As)2 = 0, откуда Ep = Es·Ap/As, то есть и поляризация линейная с наклоном Ap/As (рис.3,а). Вектор Е может быть равен нулю только при условии равенства обоих векторов нулю (из-за их перпендикулярности). Такое возможно, если разность фаз равна нулю. При равенстве временных фаз qp=qs и модулей Аps диагональ прямоугольника в любой момент времени имеет один и тот же угол наклона - 450 к горизонтали (к вектору Es) в плоскости сечения луча. Траекторией конца суммарного вектора будет прямая линия. Луч окажется линейно поляризованным. Если Аs¹Аp, а фазы остаются равными нулю или разность фаз равна нулю, то угол наклона плоскости поляризации к горизонту изменяется.

Круговая поляризация. При разности фаз qp - qs = 900 и равенстве амплитуд колебаний Ap=As поляризация круговая, циркулярная Ep2+Es2=Ap2; конец вектора Е = (Ep2+ Es2)1/2 в зависимости от времени описывает окружность (рис.3,б) по или против часовой стрелки. В любой момент времени суммарный вектор будет равен

Е=[Аp2 ·сos2(wt+qp) + Аs2 ·сos2(wt+qs)]1/2=

p·[сos2(wt+qp) + sin2(wt+qp)]1/2 = (Ep2+Es2)1/2 = Аps= const.          (4)

При этом конец вектора Е в зависимости от времени описывает траекторию по окружности в правовинтовом направлении в плоскости, перпендикулярной к направлению луча. Это будет поляризованный луч правоциркулярного вращения. При отрицательном сдвиге фаз на 900 получится левоциркулярное вращение луча.

Эллиптическая поляризация (рис.3,в). При равенстве Ap=As и сдвиге фаз, не кратном 900 (от нуля до 900) 0 < qp - qs < 900, получится эллиптическое распределение величины суммарного вектора по азимуту в перпендикулярной плоскости к направлению луча (в плоскости Еp и Es). При сдвиге фаз qp-qs = 900 и неравенстве амплитуд горизонтального As и вертикального Ap составляющих Ap¹As получится также эллиптическая поляризация. Таким образом, в диапазоне фаз 0 <  qp-qs < 900 эллиптическая поляризация обусловлена как сдвигом фаз, так и неравенством амплитуд вертикальной и горизонтальной составляющих электрического вектора.

Естественный свет - это такой свет, в котором не проявляются преимущественное направление колебаний или направление вращения. Однако практически в большинстве случаев естественный свет поляризован со средней эллиптичностью в c= 150. Для описания эллиптичности определяющими являются четыре параметра (рис.4):

- эллиптичность интенсивности луча кругового сечения   tgc = + b/a ;

- азимут большой оси эллипса в плоскости XOY                               j ;

- отношение амплитуд ортогональных компонентов       Ap /As = tgY;          (5)

- разность фаз ортогональных компонентов                         qp - qs = D ;


Изменения поляризации при отражении в зависимости от толщины поверхностной пленки и коэффициентов преломления подложки и пленки описываются следующей теорией. Согласно приведенным принятым обозначениям эллиптичности (5) можно составить равенство отношения эллиптичностей отраженного (r) и падающего (i) лучей:

tgYr/tgYi = (Apr/Asr) / (Api/Asi).                                                                      (6)

Преобразуем это равенство к следующему виду:

(Apr/Asr) / (Api/Asi)= (Apr/Api) / (Asr/Asi) = rp/rs ,                                           (7)

где rp, rs - коэффициенты отражения p- и s- плоских волн в отдельности, называемые френелевскими обобщенными амплитудными отношениями.

При записи в комплексной форме с учетом амплитуды и начальной фазы плоской волны равенство (7) перепишется в виде:

tgYr ·exp[j(qpr-qsr)] / tgYi ·exp[j(qpi-qsi)] = rp/rs .                          (8)

С учетом  (5)    D=qp-qs получим:

tgYr ·exp[j(qpr-qsr)] / tgYi ·exp[j(qpi-qsi)] = (tgYr/tgYi)·exp[j(Dr-Di)].                   (9)

Если принять              tgYr/tgYi = tgY                                                                 (10)

как изменение отношения амплитуд p-, s-колебаний, а

Dr - Di =  D                                                                        (11)

как изменение сдвига их фаз в результате отражения, то из (8)-(11) получим фундаментальное уравнение эллипсометрии:

tgY·exp(jD) = rp/rs.                                                          (12)

Френелевские коэффициенты rp, rs для разных поверхностных структур различны. Приведем примеры для простейшего случая - границы раздела двух сред и для случая прозрачной пленки на подложке.

Для границы раздела двух сред связь между амплитудами компонент электрического вектора с оптическими константами материала выражается следующими формулами Френеля:

rp=Apr/Api=(N2·соsФ1-N1·cosФ2)/(N2·cosФ1+N1·cosФ2)=

= tg(Ф12)/tg(Ф12);

rs=Asr/Asi=(N1 ·cosФ1-N2·cosФ2)/(N1· cosФ1+N2· cosФ2)=

= -sin(Ф12)/sin(Ф12);                         (13)

tp=Apt/Api=2N1·cosФ1/(N2 ·cosФ1+N1· cosФ2)=

= 2sinФ2 ·cosФ1/sin(Ф12) ·cos(Ф12);

ts=Ast/Asi=2N1· cosФ1/(N1· cosФ1+N2· cosФ2)=

= sinФ2· cosФ1/sin(Ф12),

где Ф12 - углы падения и преломления; N=n-jk - комплексный показатель преломления, где n - действительная часть показателя преломления, k - мнимая часть показателя преломления, или коэффициент экстинкции, связанный с размерным коэффициентом поглощения (α) соотношением a=4pk/l (иногда k называют просто коэффициентом поглощения); r, t – коэффициенты отражения и пропускания (прохождения) соответственно;

индексы p,s - составляющие электрического вектора соответственно параллельной и перпендикулярной плоскости падения-отражения луча.