72 РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ КВАНТОВЫХ ГЕНЕРАТОРОВ - Страница 2

В предельном случае (чисто неоднородного уширения), когда  Δνнд>> Δνодн, форма контура усиления при максвелловском законе распределения частиц по скоростям имеет вид функции Гаусса:

 

,                            (1.10)

где

(1.10, а)

– ширина линии на уровне 0,5 от максимума.

Зависимость коэффициента усиления от интенсивности потока излучения в этом случае имеет вид:

.                        (1.11)

В общем случае, когда величина однородного и неоднородного уширений соизмеримы и генерация осуществляется на нескольких продольных модах, коэффициент усиления

(1.12)

В этом выражении

n - текущее значение частоты, на которой определяется коэффициент усиления;

ni и Jni - частота и интенсивность i-й моды;

n – число мод;

n’ и n” - доплеровские частоты центров спектральных линий групп частиц, взаимодействующих с волнами, движущимися в противоположных направлениях, из-за чего n”= (2n0 - n’) (рис.1.3).

Интегрирование по всему диапазону значений n’ определяет суммарный вклад от всех частиц в величину коэффициента усиления на частоте  n.

Коэффициент k0 определяется через ненасыщенный коэффициент усиления в центре спектральной линии  (kn0)max как

.         (1.12, а)

В установившемся режиме интенсивность каждой из мод Jni устанавливается на таком уровне, при котором коэффициенты усиления на соответствующих частотах снижаются до величины, определяемой балансом между усилением и потерями (1.3). Результирующая интенсивность потока излучения J представляет собой сумму интенсивностей всех генерируемых мод и определяется значениями параметра возбуждения h и параметра g.

Параметр возбуждения

(1.13)

показывает, во сколько раз максимальная величина ненасыщенного коэффициента усиления превышает его установившееся значение в условиях стационарной генерации, определяемое уровнем потерь.

Параметр g = Dnодн / Dnнд определяет характер уширения спектральной линии.

Если генерация происходит на одной продольной моде, частота которой совпадает с центром контура усиления (n=n0), интегрирование уравнения (1.12) приводит к выражению:

,                                   (1.14)

где  - функция ошибок от аргумента .

Зависимости  интенсивности  излучения от параметра возбуждения h для различных значений g, полученные с использованием этого выражения, представлены на рис. 1.4. Их математическая обработка позволяет получить приближенные соотношения, связывающие интенсивность потока излучения с величинами параметров h и g:

- в случае, когда уширение близко к однородному  (g > 0,45),

J » 0,5 (1+ 0,45 / g) (h - 1) JS;                                   (1.15)

- в остальных случаях

J »  [1+A (h - 1)] (h - 1) JS . (1.15, a)

 

 

Зависимость коэффициента A от  g представлена в таблице 1.1.

 

Таблица 1.1

g

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,2

0,3

0,4

0,45

A

0,5

0,38

0,29

0,13

0,17

0,15

0,07

0,03

0,01

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В общем случае (n > 1) интенсивность излучения  зависит как от числа мод, так и от межмодового частотного интервала. Для одного из  частных случаев  на рис. 1.5  представлена рассчитанная на ЭВМ  зависимость  интенсивности излучения от длины резонатора L, определяющей межмодовый частотный интервал и, соответственно, число  генерируемых мод.

Как видно из рисунка, при длине резонатора L, превышающей  некоторую величину, зависящую от параметра g, интенсивность, достигает максимальной величины и далее не зависит от числа мод. Это происходит, когда межмодовый интервал Dnq, уменьшающийся по мере увеличения L,становится меньше ширины провалов в контуре усиления, в результате чего провалы полностью перекрываются.

Результаты численного интегрирования выражения (1.12) приводят к следующему соотношению, определяющему предельную величину интенсивности потока излучения:

J » 0,5 (1+0,34 g -1,2)(h-1) JS.                                     (1.16)

Условие перекрытия провалов, определяющее возможность использования этого выражения, выглядит следующим образом:

0                      20                   40                     60                    80

30

 

 

 

 

20

 

 

 

 

10

 

 

 

 

0

 

(1.17)

Число генерируемых мод n определяется отношением ширины частотного диапазона контура усиления, в пределах которого усиление превышает потери Dnг, к межмодовому интервалу Dnq (рис. 1.6).

При симметричном расположении, когда частота центральной моды совпадает с центром контура (число мод нечетное)

n @ 2 int(0,5Dnг / Dnq) +1,                                    (1.18)

где  int  обозначает  целую часть величины.