79 ОБНАРУЖЕНИЕ-ИЗМЕРЕНИЕ МНОГОЧАСТОТНЫХ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ - Страница 7

В области больших вероятностей: D>0,5 (рис. 3.5 и 3.6) применение рассматриваемых алгоритмов по сравнению с одночастотным медленно флюктуирующим сигналом позволяет получить эффект, аналогичный случаю оптимальных систем.

На рис. 3.7 при тех же значениях F и N приведены зависимости порогового отношения сигнал/шум для многоканальных по доплеровской частоте систем обработки многочастотных сигналов. Сплошные линии соответствуют многочастотным системам на основе одноканального когерентного накопления, пунктирные – многочастотным системам на основе многоканального когерентного накопления. Системы квазиоптимальной обработки многочастотных сигналов (сплошная кривая при D=0,9) при использовании количества несущих частот L=2¸4 имеют выигрыш в пороговом отношении сигнал/шум 3-3,5 дБ по сравнению с обработкой одночастотного сигнала (L=1). По сравнению с системой многоканального накопления (пунктирная кривая при D=0,9) имеются незначительные потери в эффективности обнаружения, которые не превосходят 1 дБ при L=1¸3. При этом техническая реализация системы многоканального накопления является более сложной по сравнению с квазиоптимальной системой обработки на основе одноканального когерентного накопления произведений комплексно-сопряженных соседних входных отсчетов [алгоритм (3.9)].

На рис. 3.8 приведены зависимости порогового отношения сигнал/шум от значения доплеровского сдвига фазы j1 в первом частотном канале для системы квазиоптимальной обработки многочастотного сигнала на основе алгоритма (3.9) при L=2, прежних значениях параметров D, F, N и различном числе доплеровских каналов М. Минимумы кривых соответствуют условию j1=ym. В остальных случаях имеют место межканальные потери, которые не превосходят 0,5 дБ для случая, когда число доплеровских каналов равно числу импульсов в пачке (M=N=20). При этом сокращение числа доплеровских каналов (M=N/2=10) в каждом частотном канале приводит к возрастанию межканальных потерь до 1 дБ.

 

3.2.2. Одноканальные по доплеровской частоте обнаружители. В первой главе на основе метода статистического синтеза с учетом реальной модели отраженного сигнала получены квазиоптимальные алгоритмы обработки многочастотных сигналов – адаптивные и инвариантные к доплеровским сдвигам фаз jl, отличительной чертой которых помимо одноканального когерентного накопления произведений комплексно-сопряженных соседних отсчетов является объединение результатов вычислений частотных каналов на основе линейного суммирования. Далее рассмотрим анализ характеристик обнаружения данных систем обработки многочастотных сигналов.

Адаптивный к доплеровским сдвигам фаз jl алгоритм обработки многочастотных сигналов (выражение 2.23) имеет вид:

.             (3.12)

Для анализа характеристик обнаружения синтезированной адаптивной системы обработки многочастотных сигналов необходимо определить матрицу обработки l-го частотного канала Gl размерностью N´N.

Учитывая, что в процессе адаптации неизвестные величины  заменяются их оценками максимального правдоподобия , для определения матрицы обработки Gl необходимо произвести усреднение выражения (3.12) с использованием асимптотических свойств оценок максимального правдоподобия. Используя свойство асимптотической нормальности распределения  со средним значением  и дисперсией  [19], проводим соответствующие вычисления для l-го частотного канала:

.

Для приведения данных интегралов к табличному виду произведем замену переменных  и . С учетом замены переменных и последующих преобразований выражение для ul имеет вид:

 

.

Данный интеграл сводится к табличному виду, с учетом которого после соответствующих преобразований выражение для ul имеет вид:

.     (3.13)

Учитывая асимптотическую эффективность оценки максимального правдоподобия, для нахождения дисперсии  применяем выражение Рао-Крамера [20], в соответствии с которым:

,                     (3.14)

где  – плотность вероятности вектора Ul, которая определяется выражением (2.1). Для определения дисперсии  проведем соответствующие вычисления в выражении (3.14). Логарифм выражения (2.1) имеет вид:

,            (3.15)

где .

Дважды дифференцируя выражение (3.15) с учетом элементов обратных матриц и последующим статистическим усреднением, допуская, что величина  и элементы её определяются из (2.2), выражение (3.14) можно представить в виде:

,               (3.16)

где символом sp обозначается след матрицы, элементы матрицы Bl определяются как , где  – алгебраическое дополнение элемента .

Таким образом, алгоритм обработки (3.12) с учетом выражения (3.13) для анализа представлен в виде квадратичной формы:

,         (3.17)

где Gl – матрица адаптивной обработки многочастотного сигнала в l-м частотном канале, элементы которой определяются соотношением , , иначе , причем дисперсия  определяется на основе выражения (3.16).

Далее для расчета характеристик обнаружения используем метод характеристических функций. Учитывая, что собственные значения lj(l), , матриц RlGl , не кратны, вероятность превышения порога u0 величиной ul определяем на основе выражения (2.6), которое для данного случая может быть представлено в виде:

,                 (3.18)

где K – число положительных значений lj вектора l={l1,…, lL}, ll={lj(l)}.

При расчете вероятности ложной тревоги F (определение величины порога u0), учитывая, что адаптивный алгоритм обработки многочастотных сигналов на основе выражений (2.23) и (2.26) эквивалентен вычислению огибающей результата одноканального когерентного накопления входных отсчетов (), собственные значения lj(l) можно рассчитывать на основе матриц RlQl, где элементы матриц Ql определяются соотношением , , иначе , которые затем подставляются в выражение (3.4). Для расчета вероятности правильного обнаружения D используется выражение (3.18). При этом собственные значения lj(l) матриц RlGl рассчитываются с учетом определенных элементов матриц обработки Gl.

Алгоритм обработки многочастотных сигналов, инвариантный в каждом частотном канале к доплеровским сдвигам фаз, имеет вид:

.                (3.19)

Для анализа характеристик обнаружения рассматриваемой системы обработки многочастотных сигналов необходимо представить выражение (3.19) в виде квадратичной формы:

,                 (3.20)

где Ql – матрица обработки многочастотного сигнала в l-м частотном канале, элементы которой , , иначе .

Таким образом, для анализа характеристик обнаружения системы, инвариантной к доплеровским сдвигам фаз, можно применять метод характеристических функций. Для расчета вероятностей ложной тревоги F и правильного обнаружения D используется выражение (3.4). При этом собственные значения lj(l) матриц RlQl рассчитываются с учетом определенных элементов матриц обработки Ql.

На рис. 3.9 приведены характеристики обнаружения квазиоптимальных многочастотных систем обработки, адаптивных в каждом частотном канале к доплеровским сдвигам фаз, а на рис. 3.10 – характеристики обнаружения систем обработки многочастотных сигналов, инвариантных к доплеровским сдвигам фаз, которые рассчитаны для любых значений jl и с учетом совместных флюктуаций сигнала (rl(j,k)=1). При этом отличие в величине порогового отношения сигнал/шум (рис. 3.9 и 3.10), по сравнению с экспоненциальной функцией корреляции, при нормированной ширине спектра DflТ£0,01, D=0,9 и L>1 не превосходит долей децибела. При расчете характеристик обнаружения значения F, N, r2 и r3 аналогичны параметрам расчета оптимальных систем.

В области больших вероятностей D>0,5, (рис. 3.9 и 3.10) применение рассматриваемых алгоритмов обработки многочастотных сигналов по сравнению с одночастотным медленно флюктуирующим сигналом позволяет получить эффект, аналогичный случаю оптимальных систем.

На рис. 3.11 для тех же значений F и N приведены зависимости порогового отношения сигнал/шум от количества используемых несущих частот. Сплошные линии соответствуют инвариантным системам

 

Рис. 3.9

Рис. 3.10

 

 

Рис. 3.11

 

обработки на основе алгоритма (3.19), пунктирные линии – адаптивным системам на основе алгоритма (3.12). Применение синтезированных алгоритмов обработки многочастотных сигналов позволяет получить выигрыш в пороговом отношении сигнал/шум, равный 3-3,5 дБ при D=0,9 и L=2¸4 по сравнению с одночастотными системами (алгоритмы (3.12) и (3.19) при L=1). Проигрыш в величине порогового отношения сигнал/шум для адаптивного к доплеровским сдвигам фаз алгоритма обработки по сравнению алгоритмом (3.19) составляет не более 1 дБ при D=0,5 и не более 0,1 дБ при D=0,9. Уменьшение потерь в пороговом отношении сигнал/шум с ростом ql связано с тем, что величина дисперсии  в каждом частотном канале [выражение (3.16)], которая характеризует точность измерения, обратно пропорциональна отношению сигнал/шум q.

Алгоритм обработки многочастотных сигналов на основе некогерентного накопления в каждом частотном канале имеет вид:

,                     (3.21)

где Ql – матрица обработки многочастотного сигнала в l-м частотном канале, элементы которой при равновесном накоплении определяются: .

Для нахождения характеристик обнаружения системы обработки многочастотных сигналов на основе некогерентного накопления необходимо определить собственные значения lj(l) матриц RшQl. В случае отсутствия сигнала для собственных значений матриц RшQl получаем lj(l)=l=1, , , при этом кратность l равна LN. В случае наличия сигнала собственные значения матриц RlQl, где элементы  определяются следующим образом: l2(l)=l3(l)=…=lN(l)=l2=1, , l1(l)=l1=1+Nql.

Воспользовавшись формулой (3.4), находим выражение для определения вероятности ложной тревоги F, которое в данном случае имеет вид:

.                             (3.22)

Для вероятности правильного обнаружения D с учетом собственных значений матриц RlQl выражение (3.4) имеет вид:

,    (3.23)

где С=l1/(l1-1).

На рис. 3.12 приведены характеристики обнаружения систем обработки многочастотных сигналов на основе некогерентного накопления в каждом частотном канале [выражение (3.21)], рассчитанные в соответствии с (3.22) и (3.23) для любых значений доплеровских сдвигов фаз jl и с учетом совместных флюктуаций сигнала (rl(j,k)=1). При расчете характеристик обнаружения (рис. 3.12) значения F, N, r2 и r3 аналогичны параметрам расчета оптимальных систем. Выигрыш в пороговом отношении сигнал/шум для многочастотных систем обнаружения на основе некогерентного накопления по сравнению с одночастотными системами обнаружения [алгоритм (3.21) при L=1] составляет 2,5 дБ при D=0,9 и L=2¸4.

На рис. 3.13 приведены зависимости порогового отношения сигнал/шум для различных систем междупериодной обработки многочастотных сигналов, которые соответствуют вероятности правильного

 

Рис. 3.12

 

 

Рис. 3.13

 

обнаружения D=0,9. Зависимости порогового отношения сигнал/шум q(L) приведены для случая совместных флюктуаций сигнала (rl(j,k)=1). При этом значения параметров N, F и rl аналогичны параметрам расчета оптимальных систем. Кривые зависимостей q(L) (рис. 3.13) соответствуют следующим междупериодным системам обработки многочастотных сигналов: кривая 1 – оптимальным системам обнаружения для случая неизвестных значений доплеровских сдвигов фаз [алгоритм (3.5)] при условии j1=ym; кривая 2 – системам, многоканальным по доплеровской частоте, на основе многоканального когерентного накопления [алгоритм (3.10)]; кривая 3 – квазиоптимальным системам, инвариантным в каждом частотном канале к доплеровским сдвигам фаз [алгоритм (3.19)]; кривая 4 – системам, многоканальным по доплеровской частоте, на основе одноканального когерентного накопления [алгоритм (3.9)]; кривая 5 – системам обнаружения на основе некогерентного накопления [алгоритм (3.21)].

Полученные зависимости q(L) для рассматриваемых междупериодных систем (рис. 3.13) обработки многочастотных сигналов имеют минимумы в пороговом отношении сигнал/шум, которые соответствуют оптимальному числу частотных каналов L=2¸4. При этом для рассматриваемых систем обнаружения многочастотных сигналов эти минимумы смещены в зависимости от характера обработки в частотных каналах.

Система квазиоптимальной обработки многочастотного сигнала, инвариантная в каждом частотном канале к доплеровским сдвигам фаз jl (кривая 3), имеет выигрыш в пороговом отношении сигнал/шум, равный 2,5 дБ при L=2¸4, по сравнению с известной системой обработки многочастотных сигналов на основе некогерентного накопления (кривая 5), а по сравнению с квазиоптимальной многоканальной по доплеровской частоте системой обнаружения многочастотных сигналов выигрыш составляет не более 0,5 дБ при L=2¸5 и условии, что j1=ym. Выигрыш незначительно возрастает в случае j1¹ym и M=N. При этом максимальное значение выигрыша в пороговом отношении сигнал/шум составляет не более 1 дБ.

Кривая 3 по сравнению с многоканальной по доплеровской частоте системы обнаружения многочастотных сигналов на основе многоканального когерентного накопления (кривая 2) имеет незначительные потери в пороговом отношении сигнал/шум, которые не превосходят 0,5 дБ при L=2¸5. Однако техническая реализация системы многоканального когерентного накопления в каждом частотном канале является более сложной по сравнению с реализацией в каждом частотном канале одноканального накопления произведений комплексно-сопряженных соседних импульсов.

Максимальный выигрыш в пороговом отношении сигнал/шум по сравнению с квазиоптимальными системами обработки многочастотных сигналов (кривые 3 и 4) обеспечивает оптимальная система обнаружения многочастотных сигналов (кривая 1). Выигрыш при условии j1=ym составляет соответственно 1,5-2,5 дБ и 2-3 дБ при L=2¸4. В случае j1¹ym при M=N выигрыш в пороговом отношении сигнал/шум по сравнению с рассматриваемыми системами (кривая 3) незначительно уменьшается, и при этом минимальное значение выигрыша составляет не более 1,2-2,2 дБ, а по сравнению с кривой 4 значение выигрыша в пороговом отношении сигнал/шум практически не изменяется. По сравнению с системой обнаружения на основе некогерентного накопления (кривая 5) оптимальная система (кривая 1) обеспечивает выигрыш, равный 4-5 дБ при L=2¸4. Но в реальных условиях реализация оптимальной системы обнаружения многочастотных сигналов даже для случая неизвестных значений доплеровских сдвигов фаз jl трудно преодолима.